方向导数
郝伟 2020/04/04

• 前言
• 示例：男女司机交通事故概率
• 贝叶斯公式
• 全概率公式
• 小结

前言

条件概率就是指在一个事件发生时，另一事件发生的概率。概念虽然简单，在实际在使用的时候经常让人搞混淆，所以本文通过一些示例，详细介绍条件概率。

示例：男女司机交通事故概率

某市有男司机4000名，女司机1000名，上年共发生了250起交通事故，其中男司机造成了210起，女司机造成的事故40起，根据以上数据，求上年发生事故时司机为女性的概率是多少？

设事件 $A$ =“司机发生事故概率”，事件 $B_1$ =“男司机”，事件 $B_2$ = “女司机”，那么有:

• 任何一名司机发生交通事故的概率：$P(A)=250/(4000+1000)= 0.05$
• 任意选择一名司机是男性时的概率：$P(B_1) = 4000/(4000+1000)=0.8$
• 任意选择一名司机是女性时的概率：$P(B_2) = 1000/(4000+1000)=0.2$
• 男性司机上年发生交通事故的概率：$P(A | B_1)=210/4000= 0.0525$
• 女性司机上年发生交通事故的概率：$P(A | B_2)=40/1000 = 0.04$

题目所要求的发生交通事故时司机为女性的概率可以表示为 $P(B_2 | A)$。

为了方便对比，整理如下表所示：

内容	男司机	女司机	备注
总事故率	-	-	总计为 $P(A)=0.05$，不分男女。
性别概率	$P(B_1) = 0.80$	$P(B_2) = 0.20$	司机的性别比
性别事故率	$P(A$|$B_1)=0.0525$	$P(A$|$B_2)=0.040$	在性别确认的情况下，统计事故率。
事故性别率	$P(B_1$|$A) = 210/250=0.840$	$P(B_2$|$A) = 40/250=0.160$	在事故确定的情况下，统计性别比例。

贝叶斯公式

根据贝叶斯公式，可得：
$$P(B_2|A)=\frac{P(A|B_2)P(B_2)}{P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)}= \frac{0.16 \times 0.333}{0.84 \times 0.667 + 0.16 \times 0.333}=0.16$$

男性的计算方式可以表示为：$P(B_1|A) = 1 - P(B_2|A) = 1 - 0.16 = 0.84$.
同样也可以使用贝叶斯公式可以得到：$$P(B_1|A)=\frac{P(A|B_1)P(B_1)}{P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)}= \frac{0.0525 \times 0.80}{0.0525 \times 0.80 + 0.04 \times 0.20}=0.84$$
结果一致。

我们再来统计 $P(AB)$ 和 $P(AB_2)$，由于 $P(AB) = P(B | A) P(A)= P(A | B) P(B_1)$，所以分别可以计算如下：
$$P(AB) = P(B | A) P(A)=0.84*0.05=0.42\\ P(AB) = P(A | B) P(B_1)=0.0525*0.80=0.42$$

可见，使用统计学直接计算，会得到相同的结果。类似地，对于$P(AB_2)$ 有：
$P(AB_2) = P(B_2 | A) P(A)=0.16*0.05=0.08$
$P(AB_2) = P(A | B_2) P(B_2)=0.040*0.20=0.08$

全概率公式

另外，根据全概率公式：$$P(A)=P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2)$$将数据代入，得：$$P(A|B_1) P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) = 0.0525 * 0.80 + 0.04 * 0.20 = 0.05=P(A)$$结果与之前的计算一致。

小结

综上所述，在条件概率 $P(Y|X)$中，$X$ 是已经发生了的确定事件，即概率的条件，而 $Y$ 是要求的概率。比如，求“女司机的事故概率”，女司机是已经确定的，而所要求的是事故概率，所以概率表达式为 $P(事故 | 女司机)$。反之，如果是求事故发生时女司机的概率，那么事故是已经发生的，是前提条件，所要求的是女司机的概率，所以表达式可以写成 $P(女司机 | 事故)$，这就是条件概率的本质含义。