朴素贝叶斯定理的示例 郝伟 2021/04/26 [TOC]
1. 简介
先上公式：其中，$P(A|B)$指在事件B发生时事件A发生的几率。具体内容可以看这篇文章，写的非常好。
公式其实很简单，不难记忆。但是很多人都理解困难，其核心难点在于如何正确定义事件A和事件B，只要这两个事件定义正确了，注可以轻松地供稿公式计算以获得正确的结果。一般而言，P(A)或P(B)都是已知的，属于先验经验，而P(A|B) 或 P(B|A) 是未知的，属于后验经验。其中 P(A|B) 的值可能很大，甚至远比 P(A) 或 P(B) 要大。
举例来说，设事件A表示有某疾病，事件B是对此疾病的化验结果为阳性，则：
- P(A) = 0.0001, 有这个疾病的几率是万分之一；
- P(B) = 0.0002, 化验为阳性的几率是万分之二；
- P(A|B)=0.5, 在化验为阳性的情况下，确实有此疾病，即确诊几率是50%，也就是说有另外50%是误诊；
- P(B|A)=1，在有此疾病情况下去化验，化验结果100%为阳性。
下面让我们看几个示例，来深入理解这个公式。
2. 示例1：Surgue问题
问题：有白色和红色两个碗都随机放了Surgue和Choclate两种糖果，其数量分别如下：
- WriteBowl有30个Surgue10个Choclate；
- RedBowl有20个Surgue20个Choclate。
现在随机抽出一粒糖是Surgue，则其从WriteBowl来的几率有多大？
解：设事件A为抽取碗的颜色，则 $P(WriteBowl)=P(RedBowl)=50\%$。 设事件B为糖果的种类，则 $P(Surgue) = (30+20) / (30+10+20+20) = 62.5\%$. 在WriteBowl中 $P(Surgue|WriteBowl)=30/(30+10)=75\%，P(Choclate|WriteBowl)=10/(30+10)=25\%$。 在RedBowl中 $P(Surgue|RedBowl)=20/(20+20)=50\%，P(Choclate|RedBowl)=20/(20+20)=50\%$。 所以，。结果说明，从WriteBowl中取得Surgue的几率更大。这与我们的主观观察也一致，毕竟WriteBowl中的Surgue的比例75%比RedBowl中的50%更高，所以有更高的几率从WriteBowl中取得Surgue。
3. 示例2：主观经验
问题：已知某种疾病的发病率是0.0001，即1万人中会有1人得此疾病。现有一种试剂可以检验患者是否得病，其准确率为0.99，即对一个此疾病的患者进行检测，有99%的概率呈现阳性。但是对于正常人检测，它也有一定几率错误地显示为阳性，其误报率为5%。问题：现有一名化验者的检验结果呈阳性，那么他确诊的可能性有多大？
解：假定A事件表示有此疾病，事件B表示化验结果为阳性。 问题“现有一名化验者的检验结果呈阳性，那么他确诊的可能性有多大？”就是求在事件B发生的情况下，事件A发生的几率，即 $P(A|B)$。那么，下面先分析已知的条件： 根据“发病率是0.0001”，可得： 根据 “现有一种试剂可以检验患者是否得病，其准确率为0.99”，可得： 根据“现有一种试剂可以检验患者是否得病，其准确率为0.99”，可得： 根据“它也有一定几率错误地显示为阳性，其误报率为5%”，可得：
有了以上的三个条件后，根据全概率公式，可得：
再利用条件概率公式进行计算，可得：
由此可见，即使化验结果呈阳性，真正可以确诊的几率也只有0.1976%，有99.8024%的几率呈现为"假阳性"，即阳性结果完全不足以说明病人得病。为什么会这样？为什么这种检验的准确率高达99%，但是可信度却不到0.2%？答案是与它的误报率太高有关（顺带提一句，如果误报率从5%降为1%，病人得病的概率会变为0.98%，即提升为原来的5倍）。有兴趣的朋友，还可以算一下"假阴性"问题，即检验结果为阴性，但是病人确实得病的概率有多大。其实，对于医学检测来说，"假阳性"不可怕，顶多带来些心理压力，大不了多化验几次即可。真正可怕的是"假阴性"，即明明有病却检查不出来，结果贻误了治疗时机，结果往往可能是致命的。