实验验证Binomial公式正确性 郝伟 2021/01/20 [TOC]
1. 1 实验目的
本次实验主要是通过随机生成的符合Binomial分布的随机数，以验证其概率计算公式的正确性，其公式定义如下：
其中，$(_k^n)=C_n^k=n(n-1)(n-2)...(n-k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$即n中k种可能的全排列。
2. 2 实验原理
实验分为两步：
第1步，通过 test1() 证明Javar提供的 Random.nextInt()能够提供平均分布的函数。
第2步，利用 Random.nextInt(n) 设计函数 boolean test(double p) 返回概率这p的事件是否可以发生，然后随机生成数据，验证 k 与 n 的关系。
3. 3 实验过程
编写了Java代码，参见附录，实现了整个过程。
4. 4 实验结果
4.1. 4.1 平均分布验证 test1()
函数 test1() 主要用于验证 Random.nextInt(n) 生成的随机数是否符合正态分布。
通过，使用源代码的 test1() 函数，生成2亿个数据，得到以下结果：
******************** 结果列表 ********************
counters[0] = 9999557
counters[1] = 9995208
counters[2] = 9999310
counters[3] = 9999332
counters[4] = 9999267
counters[5] = 9999526
counters[6] = 9998762
counters[7] = 9999090
counters[8] = 10004129
counters[9] = 10004558
counters[10] = 10002649
counters[11] = 9996725
counters[12] = 9999594
counters[13] = 10000538
counters[14] = 10000581
counters[15] = 10005193
counters[16] = 9997375
counters[17] = 10000347
counters[18] = 9998698
counters[19] = 9999561
******************** 统计数据 ********************
平均值: 10000000
标准差: 10928.38
偏差比: 0.001093
偏差比只有约千分之一，所以可以得到结论：生成的函数符合平均分布。
4.2. 4.2 Binomial公式数据生成验证 test2()
通过使用函数 test2() 可以得到以下数据：
- size = 1000万
******************** Binomial 实验(n=20, size=10m) ******************** k值 发生次数 实际概率 理论概率 概率偏差比 0 12 0.000001 0.000001 25.829120% 1 199 0.000020 0.000019 4.333312% 2 1826 0.000183 0.000181 0.773672% 3 10759 0.001076 0.001087 1.038340% 4 46095 0.004610 0.004621 0.239194% 5 147249 0.014725 0.014786 0.411657% 6 370519 0.037052 0.036964 0.236669% 7 740837 0.074084 0.073929 0.209481% 8 1200126 0.120013 0.120134 0.101348% 9 1601530 0.160153 0.160179 0.016318% 10 1762175 0.176218 0.176197 0.011605% 11 1602306 0.160231 0.160179 0.032128% 12 1200108 0.120011 0.120134 0.102846% 13 739723 0.073972 0.073929 0.058796% 14 369674 0.036967 0.036964 0.008071% 15 147952 0.014795 0.014786 0.063801% 16 45972 0.004597 0.004621 0.505396% 17 10893 0.001089 0.001087 0.194196% 18 1835 0.000184 0.000181 1.270366% 19 204 0.000020 0.000019 6.954752% 20 6 0.000001 0.000001 37.085440% - size = 1亿 ```bash ** Binomial 实验(n=20, size=100m) ** k值 发生次数 实际概率 理论概率 概率偏差比 0 95 0.000001 0.000001 0.385280% 1 1846 0.000018 0.000019 3.216435% 2 18026 0.000180 0.000181 0.517732% 3 108707 0.001087 0.001087 0.010920% 4 462541 0.004625 0.004621 0.105138% 5 1478587 0.014786 0.014786 0.000699% 6 3696003 0.036960 0.036964 0.011867% 7 7387746 0.073877 0.073929 0.069490% 8 12014555 0.120146 0.120134 0.009320% 9 16015085 0.160151 0.160179 0.017660% 10 17622246 0.176222 0.176197 0.014420% 11 16017554 0.160176 0.160179 0.002246% 12 12019029 0.120190 0.120134 0.046562% 13 7390142 0.073901 0.073929 0.037080% 14 3698042 0.036980 0.036964 0.043294% 15 1479722 0.014797 0.014786 0.077462% 16 461158 0.004612 0.004621 0.194177% 17 108729 0.001087 0.001087 0.009316% 18 18185 0.000182 0.000181 0.359761% 19 1899 0.000019 0.000019 0.437709% 20 103 0.000001 0.000001 8.003328%
# 5 结论
通过结果，我们可以看到：
1）公式计算结果与实际结果几乎一致；
2）1亿次较1000万次的结果误差更小，符合大数中心定律；
3）k值两端的分布偏差相对中心较大是由于数据量偏小造成的。
# 附录：源代码
```java
package tests;
import java.util.Random;
public class V20210120_BinorialDistributionTest {
static Random rand = new Random();
public static void main(String[] args) {
test1();
// test2();
}
static long factorial(int n) {
if (n < 2)
return 1;
long v = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
v *= i;
return v;
}
static long permutation(int n, int k) {
// n! / (n-k)!/k!
return factorial(n) / factorial(n - k) / factorial(k);
}
private static void test2() {
int size = 100000000;
int n = 20;
double p = 0.5;
int[] counters = new int[n + 1];
for (int i = 0; i < size; i++) {
counters[binomial(n, p)]++;
}
double[] actualValues = new double[n + 1];
double[] theoryValues = new double[n + 1];
// show(counters);
for (int i = 0; i < theoryValues.length; i++) {
actualValues[i] = counters[i] * 1.0 / size;
theoryValues[i] = permutation(n, i) * Math.pow(p, i) * Math.pow(1 - p, n - i);
}
System.out.printf("******************** Binomial 实验(n=%d, size=%dm) ********************\n", n, size/1000000);
System.out.println("k值\t发生次数\t\t实际概率\t\t理论概率\t\t概率偏差比");
for (int i = 0; i < theoryValues.length; i++) {
System.out.printf("%d\t%d\t\t%.6f\t%.6f\t%.6f%%\n", i, counters[i], actualValues[i], theoryValues[i],
Math.abs(100 * (theoryValues[i] - actualValues[i]) / theoryValues[i]));
}
}
public static int binomial(int n, double p) {
int occurredTimes = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
occurredTimes += test(p) ? 1 : 0;
return occurredTimes;
}
public static boolean test(double p) {
return rand.nextInt(10000) < 10000 * p;
}
/**
* 通过随机1亿个[0,100)的随机数证明Java的随机数是符合平均分布的。
*/
public static void test1() {
int[] counters = new int[20];
int testTimes = 100_000_000;
for (int i = 0; i < testTimes; i++) {
counters[rand.nextInt(counters.length)]++;
}
show(counters);
}
static void show(int[] arr) {
System.out.println("******************** 结果列表 ********************");
for (int i = 0; i < arr.length; i++)
System.out.printf("counters[%d] = %d\n", i, arr[i]);
System.out.println("******************** 统计数据 ********************");
double avg = mean(arr);
double sigma = varience(arr);
System.out.printf("平均值: %.0f\n", avg);
System.out.printf("标准差: %.2f\n", sigma);
System.out.printf("偏差比: %.6f\n", sigma / avg);
}
private static double varience(int[] arr) {
double avg = mean(arr);
double sigma = 0;
for (int i = 0; i < arr.length; i++)
sigma += Math.pow(arr[i] - avg, 2);
return Math.sqrt(sigma);
}
public static double mean(int[] arr) {
double mean = 0;
for (int i = 0; i < arr.length; i++)
mean += arr[i];
return mean / arr.length;
}
}